Capítulo VI - Flexão

Este capítulo apresenta as equações relacionadas ao cálculo de tensões e deformações provocadas por momento fletor, M. 

Partindo da análise do equilíbrio do elemento estrutural e assumindo uma hipótese cinemática plausível, se chega às chamadas fórmulas da flexão em regime elástico: 

 

Onde σm é a tensão máxima absoluta atuante na seção, I é o momento de inércia da seção transversal, c é a distância do ponto mais afastado até a linha neutra e y é a distância de um ponto qualquer à linha neutra.

A hipótese cinemática neste caso é análoga à empregada no caso de elementos submetidos a momento torçor. As seções transversais, inicialmente planas, permanecem planas após a aplicação do momento fletor sofrendo giros umas em relação às outras, em torno da linha neutra. No caso do momento fletor, entretanto, a mesma hipótese cinemática e, portanto, as mesmas equações, são válidas para qualquer tipo de seção transversal.

A deformação total do elemento submetido à flexão é dada pelo inverso do raio de curvatura, 1/ρ, e obtida pela seguinte equação:

Onde E é o módulo de elasticidade longitudinal ou módulo de Young do material.

O capítulo prossegue com a apresentação de uma estratégia de homogeneização para resolver problemas envolvendo flexão de elementos constituídos por mais de um material. 

O procedimento consiste em definir a razão entre os módulos de elasticidade dos materiais, n=E2/E1, e substituir cada área infinitesimal dA de material 2 por uma área n⸳dA de material 1. O problema homogeneizado resulta equivalente ao original do ponto de vista do equilíbrio e da rigidez, desde que as mudanças nas áreas sejam feitas no sentido paralelo à linha neutra. 

Do ponto de vista das tensões no material 2, como a área do mesmo foi aumentada, as tensões resultam menores do que no problema original. Neste sentido, é necessário efetuar uma correção das tensões no material que foi substituído, multiplicando por n as tensões obtidas no problema homogeneizado na região que corresponde a este material.

A estratégia de homogeneização é aplicada, por exemplo, em problemas envolvendo vigas de concreto armado sob flexão. Nestes casos assume-se, para fins de simplificação, que a parcela tracionada de concreto automaticamente fissura, não contribuindo para a resistência da seção transversal. Este tipo de simplificação está de acordo com o usualmente empregado em normas técnicas de projeto estrutural em concreto armado.

Os casos anteriores se referem à flexão pura, situação na qual somente um momento fletor, direcionado segundo eixo principal de inércia da seção transversal, atua no elemento.

Em seguida, o capítulo aborda as situações de flexão composta normal, onde o momento fletor atua em conjunto com o esforço normal, e de flexão oblíqua, onde o momento fletor resultante na seção não é aplicado em torno de nenhum dos eixos principais de inércia da seção transversal.

Para flexão composta normal, considerando o Princípio da Superposição, tem-se:

Onde N é o esforço normal atuante e A é a área da seção transversal.

Para o caso de flexão oblíqua, é necessário decompor o momento fletor oblíquo em duas parcelas, direcionadas segundo os eixos principais de inércia da seção. A depender do sistema de coordenadas adotado e da direção e sentido do momento fletor, pode-se chegar à seguinte equação:

Finalmente, ao combinar os dois casos anteriores, aborda-se o caso geral de carga excêntrica, onde a resultante de forças que atua no elemento apresenta excentricidades em relação aos dois eixos principais de inércia. Neste caso, a flexão oblíqua aparece em conjunto com o esforço normal e a equação resulta algo do tipo:

 

a depender do sistema de coordenadas adotado e do sentido e direção dos momentos fletores atuantes.

O capítulo discute ainda como estas equações podem ser utilizadas para determinar a posição da linha neutra na seção transversal, e como a partir delas se define o chamado núcleo central de inércia da seção. Este último tem papel fundamental na análise de estabilidade de estruturas de contenção à gravidade, por exemplo.

EXERCÍCIOS:

1. Problema 4.20 (Beer et al., 2011)
Problema de flexão pura no qual é necessário aplicar o teorema dos eixos paralelos duas vezes para obter o momento de inércia da seção em relação à linha neutra.

2. Problema 4.59 (Beer et al., 2011)
Problema de flexão envolvendo um material que tem módulos de elasticidade diferentes à tração e à compressão. É necessário aplicar a estratégia de homogeneização para resolver o problema ou analisá-lo de um ponto de vista de um problema estaticamente indeterminado. A solução via homogeneização é bem mais simples e, portanto, apresentada no vídeo.

3. Problema 5.5-8 - Gere & Goodno (2009)
Aborda a análise de vigas de uma ponte rodoviária. É necessário interpretar o problema para poder definir o modelo de cálculo a ser empregado, para então aplicar as equações para o cálculo da tensão que se pede.