Capítulo V - Torção

Este capítulo apresenta as equações relacionadas ao cálculo de tensões e deformações provocadas por momento torçor, T.

Parte-se da análise do equilíbrio do elemento estrutural e assume-se uma hipótese plausível a respeito de como o elemento estrutural se deforma ao ser submetido a momento torçor em torno de seu eixo longitudinal. Tal hipótese consiste na chamada hipótese cinemática. 

Para o caso de elementos estruturais de seção transversal circular cheia ou vazada, adota-se a hipótese que as seções transversais, inicialmente planas, permanecem planas após a aplicação do momento torçor, sofrendo giros em torno do eixo longitudinal umas em relação às outras. Ou seja, não ocorre empenamento das seções transversais, que neste caso consistiria em deformações para fora do plano. Esta hipótese corresponde bem à realidade de elementos de seção transversal circular, mas não é válida para outros tipos de seção transversal. Conforme ilustrado a seguir para elementos engastados na base e submetidos a torçor na extremidade livre, no caso de seções transversais quadradas, por exemplo, o empenamento é usualmente significativo.

Assim, as equações obtidas inicialmente para o cálculo da tensão cisalhante máxima, τmáx, e da tensão cisalhante em um ponto qualquer a uma distância ρ da linha de eixo do elemento, τ, são válidas apenas para seção transversal circular:

 

Onde T é o momento torçor interno, c é o raio (externo) da seção transversal e J é o momento polar de inércia.

Considerando-se regime elástico linear, a hipótese cinemática e a equação para o cálculo de τmáx, chega-se à seguinte equação, que permite calcular o ângulo de torção do elemento, em radianos. O ângulo de torção consiste na medida da deformação total provocada por momento torçor e é representado pela letra grega 'fi', ϕ. Ainda para o caso de seção transversal circular, ele é dado por:

 

Onde G é o módulo de elasticidade transversal do elemento e L é o comprimento.

Os sentidos positivos do momento torçor e do ângulo de torção são ilustrados na figura abaixo, de Hibbeler, R.C. (2011). Mechanics of Materials. 8th Edition. Prentice Hall.

Outro caso bastante comum em engenharia civil consiste no de elementos com seção transversal retangular (ou quadrada). Porém, devido à presença do empenamento nestas peças quando submetidas a momento torçor, o problema fica complicado o suficiente para que seja resolvido pela Teoria da Elasticidade e não pela Resistência dos Materiais/Mecânica dos Sólidos apresentada em nível de graduação. Neste capítulo, para que se possa resolver problemas deste tipo, são consideradas as constantes c1 e c2, obtidas pela teoria da elasticidade e dadas por meio de tabelas, e as seguintes equações:

Onde a é a maior dimensão da seção transversal e b é a menor dimensão.

Nota-se que o capítulo não apresenta equação para o cálculo da tensão cisalhante em um ponto qualquer do elemento, apenas para a tensão cisalhante máxima.

Finalmente, são apresentadas equações para o cálculo da tensão cisalhante (média ao longo da espessura da parede), e do ângulo de torção, para outro caso bastante comum em engenharia, o de seções transversais vazadas de paredes finas:

 

Onde t é a espessura da parede e Am é a área definida na seção transversal pela linha média da espessura da parede. A espessura t pode variar ao longo da seção transversal, mas deve sempre ser pequena o suficiente em comparação com as demais dimensões da seção transversal para que as equações possam levar a valores próximos da realidade.

Ressalta-se que a área Am não tem significado físico, isto é, ela engloba regiões com e sem material. Porém, ela resulta do processo de integração associado à análise de equilíbrio do elemento.

EXERCÍCIOS:

1. Problema 3.156 (Beer et al., 2011)
Problema estaticamente indeterminado. Há mais incógnitas do que equações do equilíbrio, sendo necessário obter mais equações a partir da análise das deformações totais e das condições de vinculação dos elementos envolvidos.